Creșterea cristalelor.
Rata de nucleație clasică
Bariera energetică a clusterului critic și raza nucleului în teoria clasică a nucleației.
Rata de nucleație $J$ (per volum, per timp):
$$J = A\,\exp\!\Big(-\frac{\Delta G^*}{k_B T}\Big)$$cu bariera de nucleație omogenă
$$\Delta G^* = \frac{16\pi\,\sigma^3}{3(\Delta G_v)^2}$$unde $\sigma$ este tensiunea superficială, iar $\Delta G_v \approx \tfrac{R T}{V_m}\ln S$ pentru un raport de supersaturație $S$. Raza critică: $r_c = \tfrac{2\sigma}{\Delta G_v}$.
Rata de creștere — difuzie vs. suprafață
Două regimuri limitante pentru creșterea liniară a cristalelor.
Pentru raport de supersaturație $S$:
$$G_{\text{diff}} = k_d\,(S - 1), \qquad G_{\text{surf}} = k_r\,(S - 1)$$$k_d$ reflectă transportul de masă ($D/\delta$), iar $k_r$ rata de atașare la suprafață.
Ecuația Avrami (JMAK)
Cinetică de cristalizare — fracție transformată și dimensiune medie.
$Y$ este fracția cristalizată la momentul $t$, $n$ exponentul Avrami, $K$ constanta de rată. Câmpurile opționale estimează diametrul mediu al cristalelor presupunând cristale sferice.
Raport de supersaturație
$S = C / C^*$ — raportul concentrației actuale și al solubilității de echilibru.
Ecuația van't Hoff
Dependența solubilității de temperatură, presupunând $\Delta H_{\text{sol}}$ constant.
$R = 8{,}314\ \text{J/(mol·K)}$. ΔH > 0 corespunde dizolvării endotermice (solubilitatea crește cu $T$).
Numere adimensionale
Reynolds, Péclet și Richardson — caracterizează regimul de curgere.
- Re — forțe inerțiale vs. forțe vâscoase: $\text{Re} = \rho v L / \mu$.
- Pe — advecție vs. difuzie: $\text{Pe} = v L / D$.
- Ri — flotabilitate vs. forfecare: $\text{Ri} = g \, (\Delta\rho/\rho) \, L / v^2$.
Dacă $\rho_2$ e lăsat gol sau egal cu $\rho_1$, Ri tratează $\Delta\rho = 0$.
Regimul de curgere (Navier–Stokes)
Formele simplificate care domină dinamica fluidelor în cristalizare.
Ecuația Navier–Stokes pentru curgere incompresibilă cu gravitație:
$$\rho\Big(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\Big) = -\nabla p + \mu\,\nabla^2 \mathbf{v} + \rho\,\mathbf{g}$$