Model Matematic de Dezvoltare a Cristalelor – Interactiv

Această pagină vă permite să explorați ecuații fundamentale din modelele de creștere a cristalelor. Introduceți valorile pentru variabile și faceți clic pe "Calculează" pentru a vedea rezultatele. Ecuațiile sunt afișate clar, iar rezultatele se actualizează instantaneu. Unitățile sunt indicate în paranteze.

Rata de Nucleație Clasică & Bariera Energetică

Conform teoriei clasice de nucleație, rata de nucleație $J$ (per volum per timp) poate fi exprimată ca $$J = A\,\exp\!\Big(-\frac{\Delta G^*}{k_B T}\Big)\,,$$ unde $\Delta G^*$ este bariera de energie liberă a clusterului critic. Bariera pentru nucleație omogenă este $$\Delta G^* = \frac{16\pi\,\sigma^3}{3(\Delta G_v)^2}\,,$$ cu $\sigma$ tensiunea superficială și $\Delta G_v$ modificarea energiei libere per unitate de volum. Estimăm $\Delta G_v \approx \frac{R\,T}{V_m}\ln S$ pentru un raport de supersaturație $S$. Raza critică a nucleului este $r_c = \frac{2\sigma}{\Delta G_v}$.

Tensiune superficială, σ (J/m²): Temperatură, T (K): Raport de supersaturație, S (C/C*): Volum molar, V_m (m³/mol): Factor pre-exponențial, A (1/(m³·s)):

Rata de Creștere a Cristalelor – Difuzie vs. Control de Suprafață

Sunt considerate două cazuri limitante pentru creșterea cristalelor: controlat de difuzie (limita transportului de masă) și controlat de integrarea în suprafață (limita cinetică). Modelăm viteza de creștere lineară ca $$G_{\text{diff}} = k_d\,(S - 1), \qquad G_{\text{surf}} = k_r\,(S - 1)\,,$$ unde $S$ este raportul de supersaturație. Aici $k_d$ se referă la difuzie (ex. $D/\delta$) și $k_r$ este constanta ratei de atașare la suprafață.

Raport de supersaturație, S (–): Coef. de difuzie, k_d (m/s per ΔS): Coef. de suprafață, k_r (m/s per ΔS):

Ecuația Avrami & Fracția/Dimensiunea Cristalelor

Ecuația Avrami (JMAK) pentru cinetica cristalizării este $$Y(t) = 1 - \exp[-K\,t^n]\,,$$ unde $Y$ este fracția cristalizată la momentul $t$, $n$ este exponentul Avrami, iar $K$ este o constantă de rată. Furnizați $K$, $n$ și timp pentru a calcula $Y$. Opțional, estimați o dimensiune medie a cristalelor presupunând un volum de soluție cristalizat.

Exponent Avrami, n (–): Constanta de rată, K (unități 1/sⁿ): Timp, t (s):

Concentrație inițială, C₀ (kg/m³): Concentrație echilibru, C* (kg/m³): Volumul soluției, V (m³): Număr de cristale, N: Densitatea cristalelor, ρ_s (kg/m³):

Raportul de Supersaturație

Raportul de supersaturație $S$ este definit ca $S = C / C^*$, unde $C$ este concentrația actuală a solventului și $C^*$ este solubilitatea de echilibru în aceleași condiții. Introduceți aceste concentrații pentru a calcula $S$.

Concentrație actuală, C (ex. kg/m³): Concentrație de echilibru, C* (aceleași unități):

Ecuația van't Hoff (Solubilitate–Temperatură)

Relația van't Hoff pentru două stări de echilibru este $$\ln\frac{C_2}{C_1} = -\frac{\Delta H_{\text{sol}}}{R}\Big(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\Big)\,,$$ care prezice solubilitatea $C_2$ la temperatura $T_2$ dintr-o solubilitate cunoscută $C_1$ la $T_1$ (presupunând entalpia de dizolvare constantă ΔH). Introduceți valorile pentru a calcula $C_2$. (Folosiți ΔH > 0 pentru dizolvare endotermică, unde solubilitatea crește cu $T$. $R=8.314\,\text{J/(mol·K)}$.)

T₁ (K): C₁ (kg/m³): T₂ (K): ΔH_sol (J/mol):

Numere Adimensionale: Re, Pe, Ri

Aceste numere adimensionale caracterizează curgerea fluidelor și transportul:

Numărul Reynolds (Re) – forțe inerțiale vs. forțe vâscoase
Numărul Péclet (Pe) – transport advectiv vs. transport difuziv
Numărul Richardson (Ri) – flotabilitate vs. forfecare a fluxului

Introduceți parametrii și calculați Re, Pe, și Ri. (Dacă ρ₂ este lăsat gol sau egal cu ρ, Ri va trata diferența de densitate ca 0.)

Densitatea fluidului ρ₁ (kg/m³): Densitatea secundă a fluidului ρ₂ (kg/m³, opțional): Viteză, v (m/s): Scara de lungime, L (m): Vâscozitate, μ (Pa·s): Difuzivitate, D (m²/s): Gravitație, g (m/s²):

Ecuațiile Navier–Stokes (Înțelegerea Regimului de Curgere)

Ecuația Navier–Stokes pentru curgere incompresibilă cu gravitație este: $$\rho\Big(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\Big) = -\nabla p + \mu\,\nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}\,. $$ În funcție de valorile Re și Ri:

Re scăzut (dominat de vâscozitate): Inerția este neglijabilă, rezultând curgere Stokes (târâtoare): $-\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{v} + \rho \mathbf{g} \approx 0$. Curgerea este laminară și reversibilă.
Re mare (dominat de inerție): Termenul vâscos este mic, aproximând curgerea Euler (fără vâscozitate): $\rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} \approx -\nabla p + \rho \mathbf{g}$. Curgerea poate fi turbulentă dacă Re este foarte mare.
Ri mare (dominat de flotabilitate): Flotabilitatea (diferențele de densitate) guvernează curgerea (convecție naturală), posibil stratificată. Ri mic înseamnă că efectele de flotabilitate pot fi ignorate (predomină convecția forțată).

Aceste forme simplificate ajută la înțelegerea forțelor care domină dinamica fluidelor în mediul de cristalizare.